Муодилаи
\[2(x^2+2x)^2-7(x^2+2x)=-3 \qquad (1)\]
-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.
\(x^2+2x\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:
\[x^2+2x = y.\]
Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:
\[2y^2 - 7y + 3 = 0. \qquad (2)\]
Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Намуди умумии муодилаи квадратӣ:
\[ay^2+by+c=0.\]
Барои муодилаи (2): \(a=2, b=-7, c=3\).
Дискриминантро меёбем:
\[D=b^2-4ac=(-7)^2-4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0.\]
Азбаски \(D>0\), пас муодилаи (2) ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2\cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}.\]
Яъне,
\(y_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
\(y_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3\).
Аз ин ҷо
\(x^2+2x = \frac{1}{2}\)
ё
\(x^2+2x = 3\).
Муодилаи \(x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Барои ин муодила: \(a=1, b=2, c=-\frac{1}{2}\).
Дискриминантро меёбем:
\[D=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 4 + 2 = 6 > 0.\]
Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}.\]
Яъне,
\[x_{1} = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}.\]
\[x_{2} = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}.\]
Муодилаи \(x^2+2x - 3 = 0\)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.
Барои ин муодила: \(a=1, b=2, c=-3\).
Дискриминантро меёбем:
\[D = b^2-4ac = 2^2-4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12= 16 > 0.\]
Азбаски \(D>0\), пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:
\[x_{3,4}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2\cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} = -1 \pm 2.\]
Яъне,
\[x_{3} = -1 - 2 = -3.\]
\[x_{4} = -1 + 2 = 2 -1 = 1.\]
Пас, муодилаи (1) чор реша дорад, яъне
\[x_1 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}, \quad x_2 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}, \quad x_3 = -3, \quad x_4 = 1.\]
Санҷиш.
1. Азбаски
\(\begin{multline}
\left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right)^2+2\left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-2 - \sqrt{6}}{2} + 2\right) = \\
= \left(-\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(-1 - \frac{\sqrt{6}}{2} + 2\right) = \left(-\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(- \frac{\sqrt{6}}{2} + 1\right) = \\
= \left(-\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 1^2 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{multline}\)
аст, пас
\[2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\cdot\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{4} - \frac{7}{2} = -3.\]
2. Азбаски
\(\begin{multline}
\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)^2+2\left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right) = \left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right) \cdot \left(\frac{-2 + \sqrt{6}}{2} + 2\right) = \\
= \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(-1 + \frac{\sqrt{6}}{2} + 2\right) = \left(\frac{\sqrt{6}}{2} - 1 \right) \cdot \left(\frac{\sqrt{6}}{2} + 1\right) = \\
= \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 - 1^2 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\end{multline}\)
аст, пас
\[2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 7\cdot\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{4} - \frac{7}{2} = -3.\]
\(3. \quad 2((-3)^2+2\cdot (-3))^2-7((-3)^2+2\cdot (-3)) = 2\cdot (9-6)^2 - 7\cdot (9-6) = 2\cdot 9 - 7\cdot 3 = -3.\)
\(4. \quad 2(1^2+2\cdot 1)^2-7(1^2+2\cdot 1) = 2\cdot 3^2 - 7\cdot 3 = 2\cdot 9 - 21 = -3.\)
